Страница 9

вить в следующем виде:
) i , k ( SFF ) Y 1 ( ) q ( f I V A
n
k q
) q k (
k 0 . .
.
.
..
.
+ . . - = .=
- .
Из анализа последнего выражения следует, что величина отчислений для возврата
капитала является функцией двух аргументов: длительности периода k и тенденции f из-
менения его дохода в будущем.
В частности, при f(q)=1, что соответствует постоянному потоку доходов19,
[ ] ) i , k ( SFF ) Y , k n ( a I V A 0 . - . - = ,
где ) Y , k n ( a - - фактор текущей стоимости аннуитета.
Здесь произведение ) Y , k n ( a I - . представляет собой рыночную стоимость доход-
ного актива в момент времени k:
) Y , k n ( a I Vk - . = .
На начальный момент времени (k=0) стоимость актива
) Y , n ( a I V0 . = .
С учетом этого, для некоторого промежуточного момента времени k
) Y , n ( a
) Y , k n ( a V V 0 k
-
. = . (2.16)
При Y>0 предлагаемая модель изменения стоимости (2.16) соответствует модели из-
носа с постоянным относительным приростом, которая реализует в упрощенном виде так
называемый прогрессирующий износ [35]: Аt=Ан .(1+r)t-1, где Ан - начальный уровень
износа, r - годовой относительный прирост износа, t - время.
Для удобства дальнейших рассуждений, введем отдельное обозначение для ставки
процента Y, используемой для оценки остаточной рыночной стоимости доходного акти-
ва - ia. Тогда формулу для оценки остаточной рыночной стоимости доходного актива на
некоторый q-й момент времени можно записать так:
) i , q , n ( bal V V a o q . = ,
где n - срок экономической жизни актива, q V - остаточная рыночная стоимость
актива на q-й момент времени, o V - первоначальная рыночная стоимость актива,
) i , q , n ( bal a - функция изменения стоимости актива во времени:

) i , n ( a
] i ), q n [( a ) i , q , n ( bal
a
a
a
-
= , q=0, 1, …n . (2.17)
При заданных значениях n, ia и известной величине начальной рыночной стоимости
Vo, данная функция позволяет нам спрогнозировать величину остаточной стоимости ак-
тива на любой момент времени q.
Ориентируясь на (2.17) и определение износа как разности первоначальной и оста-
точной стоимости, выразим его следующим образом:
) i , q , n ( bal V V V a o o q - = . .
Или
) i , q , n ( dep V V a o q . = . ,
где ) i , q , n ( dep a - функция износа:
) i , q , n ( bal 1 ) i , q , n ( dep a a - = . (2.18)
Характер изменения стоимости актива зависит от характера функции (2.17) на иссле-
дуемом временном интервале - периоде экономической жизни актива (от 0 до n). Не вда-
ваясь в подробности, заметим, что она является монотонной убывающей функцией, ди-
намика изменения которой во времени зависит от знака и величины аргумента ia. Харак-
тер поведения этой функции внутри исследуемого интервала определяется знаком ее
второй производной по времени
1 ) i 1 (
) 1 q n )( q n ( ) i 1 ( ) i 1 (
dq
) i , q , n ( bal d
n
a

a 2 n q
a 2
a

- +
- - - + +
. + = -
-
- - .
Из анализа данного выражения следует, что его предел при ia, стремящейся к нулю,
равен нулю, что соответствует линейному закону изменения самой функции (2.17). При
положительных значения ia вторая производная функции (2.17) принимает отрицательное
значение, и сама функция (2.17) будет выпукла вверх. И, наконец, при отрицательных
значениях ia вторая производная будет положительной, что соответствует выпуклости
функции (2.17) вниз.
Линейный закон изменения функции (2.17) соответствует частному случаю эконо-
мического износа - линейному износу:
19 Относительная неизменность потока доходов во времени характерна для оценки объекта недвижимо-
сти при выполнении предпосылок Инвуда, сформулированных им для оценки доходных активов с дли-
тельным сроком экономической жизни [53].

n
q 1 ) i , q , n ( bal a - = , q=0, 1, … . (2.19)
График изменения стоимости, соответствующий такому износу, был представлен на
Рис. 2.4.
Действительно, при прямой подстановке ia=0 в (2.17) имеет место неопределенность ти-
па <0>:

) i 1 ( 1
i
i
) i 1 ( 1
) i , q , n ( bal n
a
a
a
n q
a
a =
+ -
.
+ -
= -
-
.
Эта неопределенность устраняется с помощью правила Лопиталя дифференцирова-
нием:
n
q 1
n
q n ) i , q , n ( bal lim a 0 ia
- =
-
=
>
, q=0, 1, … . (2.20)
Однако равенство нулю аргумента ia является одним из частных случаев износа ак-
тива. Так при ia>0 имеет место неравномерное (выпуклое вверх) изменение стоимости,
для которого характерно медленное ее снижение в начале срока экономической жизни и
ускоренное в конце - прогрессирующий износ (см. Рис. 2.5).
С экономической точки зрения такой характер уменьшения стоимости актива можно
объяснить тем, что вновь созданный актив, соответствующий современным требованиям
рынка, в течение некоторого времени в силу своей достаточно высокой полезности дол-
жен пользоваться спросом и, следовательно, его рыночная стоимость вначале должна
уменьшаться достаточно медленно. По мере приближения к концу экономической жизни
актива из-за потери полезности возникает большая вероятность его функционального ус-
таревания, которое приводит к ускорению износа и, следовательно, значительному изме-
нению стоимости (см. [45], стр. 264). Другими словами, износ можно определить как на-
растающую утрату полезности актива. Заметим, что динамика морального (функцио-
нального) износа в строительстве, включающая две его формы (первую20 и вторую21),