Страница 10
yx yx S S = .
Показывает, что 68% реальных значений цен находятся в диапазоне +Syx от линии рег-
рессии.
3. Дисперсия коэффициента регрессии:
( )
.
. -
=
n
x x
S
S 2
i 2
i
yx 2
ai .
4. Критерий Стьюдента (t-сатистика):
ai
i
ai S
a
t = .
Критерий Стьюдента позволяет определить статистическую существенность связи.
Если tai>t., ., то гипотеза о том, что данный коэффициент является статистически незна-
чимым отвергается с вероятностью (100- .)%. Существуют специальные таблицы t-
распределения, позволяющие по заданному уровню значимости . и числу степеней сво-
боды . (см. Приложение), определять критическое значение критерия. Наиболее часто
употребляемое значение . равно 5%.
5. Коэффициент определенности (детерминации):
. + .
.
=
= =
=
n
1 i
2 но
i
n
1 i
2 об
i
n
1 i
2 об
i
) Y ( ) Y (
) Y (
R
. .
.
.
Здесь Y Y Y вi
об
i - = . - ошибка, объясняемая регрессионной моделью; - Y среднее значе-
ние результативного признака (на Рис. 4.8 обозначено как Уср).
Данный критерий позволяет судить о том, какой процент дисперсии цен объясняется
регрессионным уравнением.
6. Коэффициент Фишера:
.
. - -
=
=
=
n
1 i
2 но
i
n
1 i
2 об
i
R
) Y ( k
) 1 k n ( ) Y (
F
.
.
.
Критерий Фишера используется для оценки значимости коэффициента детермина-
ции. Существует таблица критических значений FRкр коэффициента Фишера (см. Прило-
жение: Распределение Фишера-Снедекора), зависящих от числа степеней свободы ., ко-
личества факторных признаков k и уровня значимости .. Если FR>FRкр, то гипотеза о
незначимости коэффициента детерминации, т.е. о несоответствии заложенных в уравне-
нии регрессии связей, реально существующим, отвергается.
Мультиколлинеарность, т.е. эффект взаимных связей между независимыми парамет-
рами (факторными признаками), приводит к необходимости довольствоваться ограни-
ченным числом параметров. Если это не учесть, то можно в итоге получить нелогичную
корреляционную модель. Чтобы избежать негативного эффекта мультиколлинеарности,
до построения множественной корреляционной модели рассчитываются коэффициенты
парной корреляции rxi,xj, между отобранными параметрами xi и xj:
j i x x
j i
_____
j i
xj , xi
x x x x
r
. .
-
= .
Здесь 2
i
__
i
xi ) x ( x - = . - дисперсия фактора xi. Считается, что два параметра корреля-
ционно связаны между собой (т.е. коллинеарные), если коэффициент их парной корреля-
ции по абсолютной величине строго больше 0,8. В этом случае какой-либо из этих пара-
метров надо исключить из рассмотрения.
С целью расширения возможностей экономического анализа получаемых регресси-
онных моделей используются частные коэффициенты эластичности, определяемые по
формуле
y
x
a Э i
i xi = ,
где i x - среднее значение соответствующего факторного признака, y - среднее значение
результативного признака, i a - коэффициент регрессии при соответствующем фактор-
ном признаке.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится
значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%, т.е. как
реагирует результативный признак на изменение факторного признака. Например, как
реагирует цена м2 площади квартиры на удаление от центра города.
Полезным с точки зрения анализа значимости того или иного коэффициента регрессии
является оценка частого коэффициента детерминации
y
xi
i yxi xi S
S a r d = ,
где
1 n
) x x (
S
n
1 i
i
xi -
. -
= = - стандартное отклонение i-го факторного признака,
1 n
) y y (
S
n
1 i
i
y -
. -
= = - стандартное отклонение результативного признака.
Данный коэффициент показывает на сколько процентов вариация результативного при-
знака объясняется вариацией i-го признака, входящего в уравнение регрессии.
Пример:
Требуется построить математическую модель рынка арендных ставок в зависимости
от двух факторных признаков: местоположения объекта аренды и его состояния, исполь-
зуя следующие исходные данные (см. Табл. 4.2).
Таблица 4.2
Номер объекта, i 1 2 3 4 5
Местоположение, x1 5 1 7 9 3
Состояние, x2 3 2 5 4 1
Арендная ставка, y 200 250 180 170 240
Здесь оценка местоположения и состояния объектов аренды выполнена в баллах ме-
тодом экспертных оценок с использованием шкалы предпочтений.
В качестве математической модели выберем линейную модель:
2 1 1 1 0 x a x a a y + + = .
Для оценки коэффициентов регрессии составим следующую систему уравнений:
. . . = + + .
. . . = + + .
. . . = + +
y x x a x x a x a
y x x x a x a x a
y x a x a na
2 2 2 1 1 2 0
1 2 1 2
1 1 1 0
2 2 1 1 0
Составим расчетную таблицу для определения коэффициентов (см. Табл. 4.3).
Таблица 4.3
Номер объекта
Местоположение, x1
Состояние, x2
Арендная ставка, y
1 x 2 1x x 1 yx 2
2 x 2 yx увыч
1 5 3 200 25 15 1000 9 600 208
2 1 2 250 1 2 250 4 500 248
3 7 5 180 49 35 1260 25 900 178
4 9 4 170 81 36 1530 16 680 168
5 3 1 240 9 3 720 1 240 238
Сумма 25 15 1040 165 91 4760 55 2920 1040
Ср. знач 5 3 208 33 18,2 952 11 584 208
После подстановки данных Табл. 4.3 получим:
2920 a 55 a 91 a 15
4760 a 91 a 165 a 25
1040 a 15 a 25 a 5
2 1 0
2 1 0
2 1 0
= + +
= + +
= + +
Данная система имеет единственное решение, которому соответствует следующая
модель регрессии:
2 1 x 666 , 6 x 33 , 8 7, 269 y - - = .
Выполним статистический анализ полученного результата. Предварительно соста-
вим вспомогательную таблицу для объясняемых и необъясняемых ошибок (см. Табл.