Страница 4

тельными, а также различными по абсолютной величине.
Складывая разности (4.1) почленно и решая полученное выражение относительно X,
получим
. .
= =
+ =
n
1 i
i
n
1 i
i X
n
1 x
n
1 X . . (4.2)
Первое слагаемое правой части (4.2) представляет собой среднее арифметическое из
результатов всех n измерений и обозначается x :
.=
=
n
1 i
i x
n
1 x . (4.3)
Величину x (точнее, ее предел при n >.) называют также математическим ожидани-
ем.
Второе слагаемое в правой части (4.2) при достаточно большом n в соответствии со
свойством компенсации обращается в нуль:
0 X
n
1 lim n
1 i
i n
=.=
. >
. .
Следовательно, при n >. имеем x >X, то есть математическое ожидание при бес-
конечном числе измерений в точности равно истинному значению измеряемой величи-
ны:
X x
n
1 lim n
1 i
i n
.=
. >
.
В действительности число n всегда конечно. То есть практически всегда x=.X. Зако-
ны теории вероятности утверждают, что среднее арифметическое из всего набора чисел,
полученных при измерениях (при любом числе n), является наилучшим приближением к
истинному значению величины X.
Для достижения хорошего результата число измерений одной и той же величины
должно быть больше, чем 30. Однако на практике часто ограничиваются 5-7 измерения-
ми. В этом случае для оценки ошибки желательно вычисление поправочных коэффици-
ентов (коэффициентов Стьюдента), штрафующих исследователя за малость выборки уве-
личением ошибки измерения.
Значение x практически всегда принимается за истинное значение измеряемой
величины.
Например, при определении абсолютных ошибок отдельных измерений в выражении
(4.1) вместо истинного значения X берут среднее арифметическое x .

Получаемые при этом ошибки называются кажущимися (или остаточными) абсо-
лютными ошибками отдельных измерений.
Мы будем называть их просто абсолютными ошибками отдельных измерений и обо-
значать через i x . :
. . .
.
. . .
.
.
= -
= -
= -
n n x x x
x x x
x x x
.
.
.
…
2 2
1 1
.
(4.4)
В действительности при измерении всегда находятся именно ошибки, выражаемые
равенствами (4.4), а не (4.1), которые остаются для нас неизвестными так же, как
неизвестно и само истинное значение X.
Абсолютная и относительная ошибка результата измерений
По ошибкам отдельных измерений (4.4) вычисляется абсолютная ошибка результата,
характеризующая результат всех n измерений. Значение этой ошибки должно указывать-
ся в окончательном результате измерений наряду со средним арифметическим значением
измеряемой величины.
Принято записывать результат измерений в виде двух слагаемых:
x x . + . (4.5)
Абсолютная ошибка x . - величина размерная и выражается в тех же единицах, что и
сама измеряемая величина. В качестве абсолютной ошибки в теории ошибок рекоменду-
ется брать среднее квадратическое отклонение от среднего значения или среднюю квад-
ратическую ошибку (СКО)36 среднего значения, для которой разработаны способы ее ве-
роятностной оценки. Считается, что она является наиболее полным и рациональным кри-
терием точности для случайных равноточных измерений.
Абсолютная ошибка x . является важной и необходимой характеристикой точности
измерения, но не достаточной. Для того чтобы сделать вывод о точности измерения слу-
чайной величины чаще используется так называемая относительная ошибка измерения:
% 100
x
x x . =
.
. . (4.6)
36 Часто СКО называют стандартным отклонением

Относительная ошибка является безразмерной величиной и является характеристи-
кой ошибки метода измерения. Она позволяет сравнивать точности независимых изме-
рений разной размерности.
4.1.2. Распределение ошибок случайных измерений
Обратимся к ошибкам (4.1), найденным по результатам равноточных измерений.
Подчеркнем, что эти ошибки относятся к категории случайных ошибок (здесь и далее
полагаем грубые и систематические ошибки отсутствующими).
Построим диаграмму распределения ошибок (Рис.4.1). По оси абсцисс будем откла-
дывать значения ошибок X . , причем вправо от точки 0 - положительных, влево - отри-
цательных. Ширина столбика в основании представляет собой некоторый интервал из-
менения ошибки X . . Высота столбика - количество ошибок из интервала. Нормирован-
ную высоту столбика часто называют частотой . появления ошибок. График частоты
ошибок называется гистограммой.
Будем неограниченно увеличивать число измерений и в то же время уменьшать ши-
рину интервала. При этом количество интервалов будет неограниченно возрастать, а ло-
маная линия на Рис. 4.1 будет стремиться к плавной кривой (см. Рис. 4.2) - функции рас-
пределения или плотности распределения ошибок (плотности вероятности).
В теории ошибок доказывается, что функция распределения в случае равноточных
измерений подчиняется так называемому нормальному закону, или, иначе, закону Гаус-
са:

) X (
e

1 ) X ( f .
.
. .
.
-
= ,
(4.7)
где .2 есть параметр, называемый вариацией или дисперсией.
Рис.4.1
-5

1 0
1 5
2 0
2 5
-0,024
-0,021
-0,018
-0,015
-0,012
-0,009
-0,006
-0,003
0,000
0,003
0,006
0,009
0,012
0,015
0,018
0,021
0,024

Дисперсия случайной величины x равна среднему значению квадрата отклонения
этой величины от ее среднего значения x :
( )2 2 x x - = . . (4.8)
Рис. 4.2
Величина ., равная квадратному корню из дисперсии, называется средним квадра-
тическим отклонением (стандартным отклонением) или средней квадратической