Страница 8
известных представлений об экономической и физической природе исследуемых факто-
ров и их взаимовлияния.
Например, известно, что зависимости экономических показателей (цены, аренды) от
ряда ценообразующих факторов (расстояния от центра поселения, площади, и др.) имеют
нелинейный характер, и достаточно строго их можно описать степенной, экспоненциаль-
ной или квадратичной функциями. Но при небольших диапазонах изменения параметров
приемлемые результаты можно получить и с помощью линейной функции.
Если все же невозможно сразу сделать уверенный выбор какой-либо одной функции,
то отбирают две - три функции, рассчитывают их параметры и далее, используя соответ-
ствующие критерии тесноты связи, окончательно выбирают функцию.
В теории массовой оценки процесс нахождения формы кривой называется специфи-
кацией модели, а ее коэффициентов - калибровкой модели [30].
Рис. 4.7
Ряд 1: a1<0, 2="">1;
Ряд 2: a1<><>
0,0
200,0
400,0
600,0
800,0
1000,0
1200,0
1 3 5 7 9 11 13 15
x
Y
Ряд1
Ряд2
Если обнаружено, что показатель y (результативный признак) зависит от нескольких
параметров-аргументов (факторных признаков) x1,x2,:,xk , то прибегают к построению
множественной корреляционной модели. Обычно при этом используют три формы мно-
жественной связи: линейную - y=a0+a1×1+a2×2+:+akxk, показательную -
k 2 1 x
k
x
x
1 0 a … a a a y = , степенную - k 2 1 a
k
a
a
1 0 x … x x a y = или их комбинации.
Показательная и степенная функции более универсальны, так как аппроксимирует
нелинейные связи, каковыми и является большинство исследуемых в оценке зависимо-
стей. Кроме того, они могут быть применены при оценке объектов и в методе статисти-
ческого моделирования при массовой оценке, и в методе прямого сравнения в индивиду-
альной оценке при установлении корректирующих коэффициентов.
Суть корректировок в методе сравнительного анализа продаж можно выразить в ма-
тематическом виде следующим образом:
( ) ) x a … x a 1 ( a … a a V V k 1 r
x
r
x x
i
кор
i k 1 r
r 2
. . . . . + + + . . . . = + + , (4.15)
где i V - цена i-го аналога до корректировки, кор
i V - цена i-го аналога после коррек-
тировки, a1,:,ak - корректирующие коэффициенты, .xj - разность значений j-го ценооб-
разующего фактора объекта оценки и объекта-аналога.
После разложения сомножителей первой круглой скобки (4.15) в ряд Тейлора и
удержания первых членов ряда получим:
[ ] ) x a … x a 1 ( ) x a 1 ( … ) x a 1 ( ) x a 1 ( V V k k 1 r 1 r r r 2 2 1 1 i
кор
i . . . . . + + + + . . + . + = + + . (4.16)
Здесь произведение, находящееся в квадратных скобках, представляет собой сово-
купность корректировок по первой группе факторов, характеризующих отличия объекта
аналога от объекта оценки с точки зрения сделки (последовательные корректировки). А
вторая - совокупность корректировок по второй группе факторов, характеризующих от-
личия объекта оценки по местоположению, физическим и экономическим характеристи-
кам (параллельные корректировки).
На этапе калибровки параметры корреляционной модели рассчитывают методом
наименьших квадратов, суть которого состоит в том, что сумма квадратов отклонений
выровненных значений результативного признака yB, т. е. вычисленных по выбранному
уравнению связи, от фактических значений должна быть минимальной:
min ) y y ( Q 2
i
n
1 i
i , B = - = .=
.
Значения yB и y известны, поэтому Q является функцией только параметров уравне-
ния. Для отыскания минимума S нужно взять частные производные Q по параметрам
уравнения и приравнять их к нулю:
a
Q
=
.
.
; 0
a
Q
=
.
.
;:, 0
a
Q
k
=
.
.
.
В результате получаем систему нормальных уравнений, число которых равно числу
определяемых параметров искомого уравнения регрессии.
Положим, нужно найти параметры линейного уравнения y=a0+a1x. Сумма квадратов
отклонений имеет вид:
( )
2 n
1 i
i i 1 0 y x .=
- + = .
Дифференцируют функцию Q по параметрам a0 и a1 и приравнивают частные про-
изводные к нулю:
.=
= - + =
.
. n
1 i
i i 1 0
0 ) y x a a ( 2
a
Q ,.=
= - + =
.
. n
1 i
i i i 1 0
0 x ) y x a a ( 2
a
Q .
После преобразований получают:
2 n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i i
n
1 i
i
n
1 i
i
x x n
x y x x y
a
.. .
.. .. - .
. . . - .
=
= =
= = = = ; 2 n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
i i
x x n
y x y x n
a
.. .
.. .
. - .
. . - .
=
= =
= = = ,
где n - количество исходных фактических значений y и x.
Приведенный выше порядок расчета корреляционного уравнения применим и для
нелинейных зависимостей, если эти зависимости можно линеаризовать, то есть привести
к линейной форме заменой переменных. Степенная и показательная функции после лога-
рифмирования и соответствующей замены переменных приобретают линейную форму.
Например, степенная функция после логарифмирования приобретает вид:
x lg a a lg y lg 1 0 + = . После замены переменных Y=lgy, A0=lga0, X=lgx получаем линей-
ную функцию Y=A0+a1x, параметры которой находят описанным выше способом.
Метод наименьших квадратов применяют и для расчета параметров множественной
корреляционной модели. Так, система нормальных уравнений для расчета линейной
функции с двумя параметрами-аргументами x1 и x2 после ряда преобразований имеет
следующий вид:
. = . + . +
= = =
n
1 i
i
n
1 i
i , 2 2
n
1 i
i , 1 1 0 y x a x a n a ;
. = . + . + .
= = = =
n
1 i
i , 1 i
n
1 i
i , 2 i , 1 2
n
1 i
i , 1 1
n
1 i
i , 1 0 x y x x a x a x a ;